Question

符号[x]表示不超过x的最大整数，如[2.5]=3，[-1.1]=-2，定义函数{x}=x-[x]，给出下列四个命题：
①函数{x}的定义域是R，值域为[0，1]；
②方程{x}=有无数解；
③函数{x}是周期函数；
④函数{x}是增函数．
其中真命题的序号有（ ）
A．②③
B．①④
C．③④
D．②④

Answer

通过举反例，可得①④不正确，通过x=1.5，2.5，3.5，4.5，…时，函数{x}的值都是，说明②③正确．
【解析】
①不正确，如x=8.8时，[x]=8，显然函数的值域不是[0，1]．
②正确，由于函数{x}=x-[x]的值域是[0，1），
当x=1.5，2.5，3.5，4.5，…时，都是此方程{x}=的解．
由②知，函数{x}是周期函数，故③正确．
④不正确，如x=1.5，2.5，3.5，4.5，…时，函数{x}的值都是，故不是增函数．
综上，②③正确，
故选A．