Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA₁=，M是CC₁的中点，则异面直线AB₁与A₁M所成的角是（ ）
A．60°
B．45°
C．30°
D．90°

Answer

连接AC1，利用三角函数计算结合题中数据证出∠AC1A1=∠A1MC1，从而矩形AA1C1C中A1M⊥AC1．再利用线面垂直的判定与性质，证出A1M⊥平面AB1C1，从而可得AB1⊥A1M，由此即可得到异面直线AB1与A1M所成的角．
【解析】
连接AC1
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA1=，
∴A1C1=BC=，
Rt△A1C1M中，tan∠A1MC1===；
Rt△AA1C1中，tan∠AC1A1===
∴tan∠MA1C1=tan∠AC1A1 即∠AC1A1=∠A1MC1     
可得矩形AA1C1C中，A1M⊥AC1
∵B1C1⊥A1C1，B1C1⊥CC1且AC1∩CC1=C1
∴B1C1⊥平面AA1C1，
∵A1M⊂面AA1C1，∴B1C1⊥A1M，
又AC1∩B1C1=C1，∴A1M⊥平面AB1C1
结合AB1⊂平面AB1C1，得到AB1⊥A1M，
即异面直线AB1与A1M所成的角是90°
故选：D