Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，AA₁=，D、E分别为BB₁、AC的中点．
（1）证明：AC⊥平面BDE
（2）求二面角A₁-AD-C₁的大小．

Answer

（1）建立空间直角坐标系，证明，，即可证明AC⊥平面BDE；
（2）确定平面AC1D的一个法向量、平面AA1D的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A1-AD-C1的大小．
（1）证明：以BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BB1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），，C（0，1，0），，，
∴，，
∴，
即，，而BE∩BD=B，
∴AC⊥平面BDE；
（2）【解析】
设平面AC1D的一个法向量是，
则由，∴
令x=1，则，
又平面AA1D的一个法向量是，
∴
∴，
由图可知二面角为锐角，故A1-AD-C1的大小为60°．