Question

已知定点F（1，0），F′（-1，0），动点P满足||，||，|PF′|成等差数列
（1）求动点P的轨迹E的方程
（2）过点F（1，0）且与x轴不重合的直线l与E交于M、N两点，以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上，求直线l的方程．

Answer

（1）利用等差数列的意义和椭圆的定义即可得出；
（2）对直线l的斜率分类讨论，利用中垂线方程和正方形的性质即可得出．
【解析】
（1）由题意可得：=2，
由椭圆的定义可得：动点P的轨迹E是椭圆，且a=，c=1，∴b2=a2-c2=1，
∴动点P的轨迹E的方程为．
（2）①当直线l与x轴垂直时，l：x=1．
此时M，N，以MN为对角线的正方向的另外两个顶点为，不合题意；
②当直线l与x轴既不垂直也不重合时，设l：y=k（x-1）（k≠0），设M（x1，y1），N（x2，y2）．
联立，得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0，
∴，．
∴MN的中点坐标为．
则线段MN的中垂线m的方程为，
即，
则直线m与y轴的交点为，
而以MN为对角线的正方形的第三个顶点Q恰在y轴上，
∴QM⊥QN，即，
整理得（y1+y2）+，（*）
由
代入（*）解得k=±1．
故所求直线方程为x+y-1=0或x-y-1=0．