Question

如图，用长为90，宽为48的长方形铁皮做一个无盖的长方体容器，先在四角分别截去都是相同的一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成，当长方体容器的容积为最大时，其高为（ ）

A．10
B．30
C．36
D．10或36

Answer

设长方体的高为x，表示出长方体容器的容积，利用导数的方法，即可求解．
【解析】
由题意，设长方体的高为x，则长方体底面的长和宽分别是：90-2x和48-2x，（0＜x＜24）
所以长方体的底面积为：（90-2x）（48-2x）
所以长方体容器的容积为V=x（90-2x）（48-2x）=4x3-276x2+4320x
∴V′=12x2-552x+4320=12（x-36）（x-10）
∴函数在（0，10）上单调递增，在（10，24）上单调递减
∴当x=10时，容积最大，最大是V=19600cm3，
故选A．