Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，E，F分别是线段AB．BC的中点．
（Ⅰ）证明：PF⊥FD；
（Ⅱ）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A-PD-F的余弦值；
（Ⅲ）在棱PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD？若存在，请找出点G的位置并加以说明；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）连接AF，证明DF⊥平面PAF，即可证明PF⊥FD；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系．因为PA⊥平面ABCD，所以∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，确定平面PFD的法向量、平面PFD的法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角A-PD-F的余弦值；
（Ⅲ）解法1：利用向量法，求出平面PFD的法向量，利用，可得结论；
解法2：几何法，利用面面平行，可得结论．
（Ⅰ）证明：连接AF，则，
又AD=2，∴DF2+AF2=AD2，∴DF⊥AF．
又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，
∴DF⊥平面PAF
∵PF⊂平面PAF，
∴DF⊥PF．-----------------------（5分）
（Ⅱ）【解析】
因为四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，则如图建立空间直角坐标系．
因为PA⊥平面ABCD，所以∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，所以PA=AB=1，
以A（0，0，0），B（1，0，0），F（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）．
所以，
设平面PFD的法向量为，
由得，
令x=1，解得：y=1，z=2，所以．
又因为AB⊥平面PAD，所以是平面PAD的法向量，易得，
所以．
由图知，所求二面角A-PD-F的余弦值为．---------------------------------（10分）
（Ⅲ）解法1：在棱PA上存在点G，使得EG∥平面PFD．
设点P（0，0，a），G（0，0，b），则，
因为，则．
设平面PFD的法向量为，
由得，
令x=1，解得：，所以．
令得，即，
所以．
从而满足的点G为所求．---------------------------------------------（14分）
解法2：过点E作EH∥FD交AD于点H，则．
再过点H作HG∥DP交PA于点G，则，
∴平面EHG∥平面PFD，∴EG∥PFD．
从而满足的点G为所求．-----------------------------（14分）