Question

已知函数f（x）=ax-+b-（a+1）lnx，（a，b∈R），．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=2处取得极小值0，求a，b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对任意，总有f（x₁）＞g（x₂）；
（Ⅲ）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer

（I）利用解出并检验即可得出；
（II）利用导数分别求出f（x）min和g（x）max，再证明f（x）min-g（x）max＞0即可；
（III）先求出导数f′（x），再对a分类讨论即可得出．
【解析】
（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
由题意得，
∴，b=．
经检验符合题意．
（Ⅱ），当x∈[e，e2]时，f'（x）＞0，
所以f（x）在[e，e2]上单调递增，所以，
，当x∈[e，e2]时，g'（x）＜0，g（x）在[e，e2]上单调递减，所以     ．
因为，
所以对任意，总有f（x1）＞g（x2）．
（Ⅲ）．
（1）当a=0时，由f'（x）＞0得，0＜x＜1；
（2）当a＜0时，由f'（x）＞0得，0＜x＜1；
（3）当a＞0时，
（ⅰ）若0＜a＜1，由f'（x）＞0得，0＜x＜1或；
（ⅱ）若a=1，则f'（x）≥0恒成立，（在（0，1）和（1，+∞）上f'（x）＞0，f′（1）=0），得x＞0；
（ⅲ）若a＞1，由f'（x）＞0得，或x＞1．
综上所述，当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，1）；
当0＜a＜1时，函数f（x）的单调递增区间为（0，1）和；
当a=1时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
当a＞1时，函数f（x）的单调递增区间为和（1，+∞）．