Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，M为线段PD的中点．
（I）求证：BM⊥PD
（II）求直线CM与PB所成角的余弦值．

Answer

（I）连接BD，计算PB=BD=，利用M为线段PD的中点，可得结论；
（II）连接AC，与BD交于O，连接OM，证明∠MOC（或其补角）为直线CM与PB所成角，利用余弦定理，可求直线CM与PB所成角的余弦值．
（I）证明：连接BD，
∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，
∴PB=BD=
∵M为线段PD的中点，
∴BM⊥PD
（II）【解析】
连接AC，与BD交于O，连接OM，则
∵M为线段PD的中点，
∴MO∥PB
∴∠MOC（或其补角）为直线CM与PB所成角，
在△MOC中，
∴cos∠MOC==
∴直线CM与PB所成角的余弦值为．