Question

已知函数f（x）=x³-3x+1
（I）求函数y=f（x） 的图象在点（2，f（2））处的切线方程．
（II）求函数f（x） 在区间[-3，2]上的最大值．

Answer

（I）求导函数，求出切线的斜率，切点的坐标，即可得到切线方程；
（II）利用导数的正负，确定函数的单调性，确定函数的极大值，与端点函数值比较，即可得到结论．
【解析】
（I）求导函数，可得f′（x）=3x2-3
∴f′（2）=9
∵f（2）=3
∴y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=9（x-2），即9x-y-15=0；
（II）令f′（x）=3x2-3＞0，可得x＜-1或x＞1；令f′（x）=3x2-3＜0，可得-1＜x＜1，
∵x∈[-3，2]，
∴函数在（-3，-1），（1，+∞）上单调递增，在（-1，2）上单调递减，
∴x=-1时，函数取得极大值，x=1时，函数取得极小值
∵f（-3）=-17，f（-1）=3，f（2）=3
∴函数f（x）在区间[-3，2]上的最大值为3．