Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=2，AE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC，CE交AD于点P．
（1）若AE=CD，点M为BC的中点，求证：直线MP∥平面EAB
（2）若AE=2，CD=1，求锐二面角E-BC-A的平面角的余弦值．

Answer

（1）由题意可得四边形ACDE为矩形，点P为EC的中点．再取AC的中点为N，可证MN∥平面EAB，PN∥平面EAB，从而平面PMN∥平面EAB．再根据两个平面平行的性质可得直线MP∥平面EAB．
（2）先由条件判断∠EBA即为锐二面角E-BC-A的平面角．直角三角形EAB中，由EA=AB=2，可得直角三角形EAB为等腰直角三角形，故∠EBA=45°，由此求得cos∠EBA 的值，即为所求．
【解析】
（1）∵AE=CD，点M为BC的中点，AE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC，故四边形ACDE为矩形．
由CE交AD于点，P可得点P为EC的中点．
再取AC的中点为N，则MN为△ABC的中位线，PN为△ACE的中位线，故有MN∥AB，
而MN不在平面ABE中，AB在平面ANE中，故有MN∥平面EAB．
同理可证，PN∥平面EAB．
而MN和PN是平面PMN内的两条相交直线，故平面PMN∥平面EAB．
而MP在平面PMN内，故MP∥平面EAB．
（2）Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=2，AE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC，则有BC⊥平面EAB，
故∠EBA即为锐二面角E-BC-A的平面角．
直角三角形EAB中，由EA=AB=2，可得直角三角形EAB为等腰直角三角形，
故∠EBA=45°，∴cos∠EBA=．