Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，（n∈N^*，λ为常数），且a₁，a₂+2，a₃成等差数列．
（1）求λ的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设数列{b_n}满足b_n=，证明：b_n．

Answer

（1）利用数列递推式，结合a1，a2+2，a3成等差数列，即可求λ的值；
（2）由（n∈N*），可得（n≥2），利用叠加法，结合等比数列的求和公式，即可求数列{an}的通项公式；
（3）确定数列{bn}的通项，可得其单调性，即可证明结论．
（1）【解析】
因为a1=1，（n∈N*），
所以，．
因为a1，a2+2，a3成等差数列，
所以a1+a3=2（a2+2），即2+6λ=2（3+2λ），
解得λ=2．
（2）【解析】
由（1）得，λ=2，所以（n∈N*），
所以（n≥2）．
当n≥2时，an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=1+22+23+…+2n==2n+1-3．
又a1=1也适合上式，
所以数列（-∞，a]的通项公式为（n∈N*）．
（3）证明：由（2）得，，所以．
因为，
当n≥3时，-（n-1）2+2＜0，所以当n≥3时，bn+1-bn＜0，即bn+1＜bn．
又＜＜，
所以（n∈N*）．