Question

设a为常数，a∈R，函数f（x）=x²+|x-a|+1，x∈R．
（1）若函数f（x）是偶函数，求实数a的值；
（2）求函数f（x）的最小值．

Answer

（1）根据偶函数的定义，采用比较系数法，可得（x+a）2=（x-a）2对任意的x∈R成立，故可得a=0．
（2）分x≤a与x＞a两种情况讨论，结合二次函数的图象与性质加以分析，可得当时，函数在x=a处取得最小值，而当时，函数在x=-处取得最小值；当时，函数在x=处取得最小值．由此即可得到本题的答案．
【解析】
（1）∵函数f（x）为偶函数，∴对任意的x∈R都有f（-x）=f（x），
即（-x）2+|-x-a|+1=x2+|x-a|+1，对任意的x∈R都有|x+a|=|x-a|，
也就是（x+a）2=（x-a）2对任意的x∈R成立，故4ax=0恒成立，可得a=0．
（2）①当x≤a时，．
若，则函数f（x）在（-∞，a]上单调递减．
所以函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f（a）=a2+1．
若，则函数f（x）在上单调递减，在上单调递增．
所以函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为．
②当x＞a时，．
若，则函数f（x）在上单调递减，在单调递增．
所以函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为．
若，则函数f（x）在[a，+∞）单调递增．
所以函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（a）=a2+1．
综上所述，可得
当时，函数f（x）的最小值是；当时，函数f（x）的最小值是a2+1；
当时，函数f（x）的最小值是．