Question

如图，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点． 
（Ⅰ）求证：BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BEC；
（Ⅲ）若DE=3，求平面BEC与平面DEC所成锐二面角的余弦值．

Answer

（I）取DE中点N，连结MN，AN，利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得四边形ABMN为平行四边形，进而可证明BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）证明ED⊥BC，BC⊥BD，可得BC⊥平面BDE，从而可得平面BDE⊥平面BEC；
（Ⅲ）建立空间直角坐标系，求得平面BEC与平面DEC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面BEC与平面DEC所成锐二面角的余弦值．
（Ⅰ）证明：取DE中点N，连结MN，AN．
在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点，
所以MN∥CD，且MN=CD．
由已知AB∥CD，AB=，
所以MN∥AB，且MN=AB．
所以四边形ABMN为平行四边形．              …（2分）
所以BM∥AN．
又因为AN⊂平面ADEF，且BM⊄平面ADEF，
所以BM∥平面ADEF．        …（4分）
（Ⅱ）证明：在矩形ADEF中，ED⊥AD．
又因为平面ADEF⊥平面ABCD，
且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD．
所以ED⊥BC．                …（5分）
在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得BC=．
在△BCD中，BD=BC=，CD=4，
因为BD2+BC2=CD2，所以BC⊥BD．
因为BD∩DE=D，所以BC⊥平面BDE．…（7分）
又因为BC⊂平面BCE，
所以平面BDE⊥平面BEC．…（8分）
（Ⅲ）【解析】
由（Ⅱ）知ED⊥平面ABCD，且AD⊥CD．
以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（2，2，0），C（0，4，0），E（0，0，3）．     …（9分）
易知平面DEC的一个法向量为=（1，0，0）．…（10分）
设=（x，y，z）为平面BEC的一个法向量，
因为=（-2，2，0），=（0，-4，3）
所以
令x=1，得y=1，z=．
所以=（1，1，）为平面BEC的一个法向量．   …（12分）
设平面BEC与平面DEC所成锐二面角为θ．
则cosθ==．
所以平面BEC与平面DEC所成锐二面角的余弦值为．…（14分）