Question

已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点M（0，2），离心率e=．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过定点N（2，0）的直线l与椭圆相交于A，B两点，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l倾斜角的取值范围．

Answer

（I）利用椭圆过点M（0，2），离心率e=，求出几何量，即可求椭圆的方程；
（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程，利用数量积大于0，即可得到结论．
【解析】
（Ⅰ）由题意得b=2，
结合a2=b2+c2，解得a2=12
所以，椭圆的方程为．…（4分）
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．
①当x1=x2=2时，斜率不存在时，不妨令=，=
∴，∠AOB为锐角成立 …（6分）
②当x1≠x2时，设直线l的方程为：y=k（x-2）
由得x2+3k2（x-2）2=12
即（1+3k2）x2-12k2x+12k2-12=0．
所以，，…（8分）
∴=-
∴=x1x2+y1y2=＞0                                 …（10分）
解得k或k．…（12分）
综上，直线l倾斜角的取值范围是（，）．…（13分）