Question

对于给定数列{c_n}，如果存在实常数p，q使得c_n+1=pc_n+q对于任意n∈R^*都成立，我们称数列{c_n}是“K类数列”．
（Ⅰ）若a_n=2n，b_n=3•2ⁿ，n∈N^*，数列{a_n}，{b_n}是否为“K类数列”？若是，指出它对应的实常数p，q，若不是，请说明理由；
（Ⅱ）证明：若数列{c_n}是“K类数列”，则数列{a_n+a_n+1}也是“K类数列”；
（Ⅲ）若数列a_n满足a₁=2，a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），t为常数．求数列{a_n}前2012项的和．并判断{a_n}是否为“K类数列”，说明理由．

Answer

（I）由数列通项，可得an+1=an+2，bn+1=2bn，对照新定义，即可得到结论；
（II）若数列{an}是“κ类数列”，则存在实常数p、q，使得an+1=pan+q对于任意n∈N*都成立，且有an+2=pan+1+q对于任意n∈N*都成立，从而可得（an+1+an+2）=p（an+an+1）+2q对于任意n∈N*都成立，即可得到结论；
（III）利用等比数列的求和公式，可求数列{an}前2012项的和，利用新定义，可以判断{an}是“K类数列”．
（Ⅰ）【解析】
因为an=2n，所以有an+1=an+2，n∈N*
故数列{an}是“κ类数列”，对应的实常数分别为1，2；    …（1分）
因为，所以有bn+1=2bn，n∈N*．
故数列{bn}是“κ类数列”，对应的实常数分别为2，0．…（3分）
（Ⅱ）证明：若数列{an}是“κ类数列”，则存在实常数p、q，使得an+1=pan+q对于任意n∈N*都成立，
且有an+2=pan+1+q对于任意n∈N*都成立，
因此（an+1+an+2）=p（an+an+1）+2q对于任意n∈N*都成立，
故数列{an+an+1}也是“κ类数列”，对应的实常数分别为p，2q．                          …（6分）
（Ⅲ）因为 ，所以有a1+a2=3t•2，，
故数列{an}前2012项的和S2012=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2009+a2010）+（a2011+a2012）=3t•2+3t•23+…+3t•22009+3t•22011=2t（22012-1）…（9分）
若数列{an}是“κ类数列”，则存在实常数p、q，使得an+1=pan+q对于任意n∈N*都成立，且有an+2=pan+1+q对于任意n∈N*都成立，
因此（an+1+an+2）=p（an+an+1）+2q对于任意n∈N*都成立，
而，且，
则有3t•2n+1=3t•p2n+2q对于任意n∈N*都成立，可以得到t（p-2）=0，q=0，
当p=2，q=0时，an+1=2an，，t=1，经检验满足条件．
当t=0，q=0时，an+1=-an，，p=-1经检验满足条件．
因此当且仅当t=1或t=0时，数列{an}是“κ类数列”．
对应的实常数分别为2，0或-1，0．               …（13分）