Question

设函数f_n（x）=xⁿ+x-1，其中n∈N^*，且n≥2，给出下列三个结论：
①函数f₃（x）在区间（，1）内不存在零点；
②函数f₄（x）在区间（，1）内存在唯一零点；
③设x_n（n＞4）为函数f_n（x）在区间（，1）内的零点，则x_n＜x_n+1．
其中所有正确结论的序号为    ．

Answer

①确定函数的单调性，利用零点存在定理，进行验证；
②确定函数的单调性，利用零点存在定理，进行验证；
③函数在（，1）上是单调增函数，fn+1（x）＜fn（x），即可得到结论．
【解析】
①f3（x）=x3+x-1，∵f3′（x）=3x2+1＞0，∴函数在R上是单调增函数，∵f3（）=-＜0，f3（1）=1＞0，∴函数f3（x）在区间（，1）内存在零点，即①不正确；
②f4（x）=x4+x-1，∵f4′（x）=4x3+1，∵x∈（，1），∴f4′（x）＞0，∴函数在（，1）上是单调增函数，∵f4（）=-＜0，f4（1）=1＞0，∴函数f4（x）在区间（，1）内存在零点，即②正确；
③fn（x）=xn+x-1，∵fn′（x）=nxn-1+1，∵x∈（，1），∴fn′（x）＞0，∴函数在（，1）上是单调增函数，∵fn+1（x）-fn（x）=xn（x-1）＜0，∴函数在（，1）上fn+1（x）＜fn（x），∵xn（n＞4）为函数fn（x）在区间（，1）内的零点，∴xn＜xn+1，即③正确
故答案为：②③