Question

设函数，且，其中n=1，2，3，…．
（I）计算a₂，a₃，a₄的值；
（II）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数字归纳法加以证明．

Answer

（I）由an+1=，a1=，即可求得a2，a3，a4的值；
（II）由a1，a2，a3，a4，可猜想an=，用数学归纳法证明，①当n=1时，去证明结论成立；②假设当n=k（k∈N*）时等式成立，去证明当n=k+1时，猜想也成立即可．
【解析】
（I）由题意，得an+1=，（1分）
因为a1=，
所以a2=，a3=，a4=．（3分）
（II）【解析】
由a1，a2，a3，a4，猜想an=（5分）
以下用数字归纳法证明：对任何的n∈N*，an=
证明：①当n=1时，由已知，左边=，右边==，所以等式成立．（7分）
②假设当n=k（k∈N*）时等式成立，即ak=，（8分）
则n=k+1时，ak+1=====．
所以当n=k+1时，猜想也成立．（12分）
根据①和②，可知猜想对于任何n∈N*都成立．（13分）