Question

已知函数f（x）=e^2x-1-2x．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）设b∈R，求函数f（x）在区间[b，b+1]上的最小值．

Answer

（I）求导函数，利用导数的正负，可得函数的单调区间；
（II）分类讨论，求导数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）在区间[b，b+1]上的最小值．
【解析】
（I）因为f′（x）=2e2x-1-2．（2分）
令f′（x）=0，解得．（3分）
当x变化时，f（x）与f′（x）的变化情况如下表：

x
f′（x） - +
f（x） 极小值

（5分）
所以函数f（x）在（）上单调递减，在上单调递增．（6分）
（II）当时，
因为函数f（x）在（b，b+1）上单调递减，
所以当x=b+1时，函数f（x）有最小值f（b+1）=e2b+1-2b-2．（8分）
当时，
因为函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数f（x）有最小值．（10分）
当时，
因为函数f（x）在（b，b+1）上单调递增，
所以当x=b时，函数f（x）有最小值f（b）=e2b-1-2b．（12分）
综上，当时，函数f（x）在[b，b+1]上的最小值为f（b+1）=e2b+1-2b-2；
当时，函数f（x）在[b，b+1]上的最小值为；
当时，函数f（x）在[b，b+1]上的最小值为f（b）=e2b-1-2b．（13分）