Question

已知函数，．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）若对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）≤a成立，求实数a的取值范围；
（III）设x₁，x₂＞0，a₁，a₂∈[0，1]，且a₁+a₂=1，求证：．

Answer

（I）为了求函数f（x）的解析式，根据题意，即求出其中的f'（2）的值，故只须对函数求导后令x=2即可；
（II）设F（x）=f（x）+g（x），对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）≤a成立，只须a≥F（x）max即可，利用导数求函数F（x）的最大值，即可得出实数a的取值范围；
（III）由（II），得F（x）=lnx-x≤-1，即lnx≤x-1，再分别令，，后利用不等式的性质两式相加，得到一个不等关系式，化简即可证出结论．
【解析】
（I）因为，
所以f′（x）=x-f′（2）．（2分）
令x=2，得f′（2）=1，
所以f（x）=．
（II）【解析】
设F（x）=f（x）+g（x）=lnx-x，
则F′，（5分）
令F′（x）=0，解得x=1．（6分）
当x变化时，F（x）与F′（x）的变化情况如下表：

x （0，1） 1 （1，+∞）
f′（x） + -
f（x） ↑ 极小值 ↓

所以当x=1时，F（x）max=F（1）=-1．（8分）
因为对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）≤a成立，
所以a≥-1．（9分）
（III）证明：由（II），得F（x）=lnx-x≤-1，即lnx≤x-1，
令，得，
令，得，（11分）
所以
因为a1+a2=1，
所以，（13分）
所以a1lnx1-a1ln（a1x1+a2x2）+a2lnx2-a2ln（a1x1+a2x2）≤0，
即a1lnx1+a2lnx2≤（a1+a2）ln（a1x1+a2x2）=ln（a1x1+a2x2），
所以，
所以（14分）