Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，AC₁⊥A₁B，D为AC的中点．
（Ⅰ）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求证：平面AB₁C₁⊥平面ABB₁A₁．

Answer

（Ⅰ）设AB1∩A1B=O，连接OD，利用直线OD与直线B1C平行，来推导出B1C∥平面A1BD．
（Ⅱ）由AB=BB1得ABB1A1正方形⇒A1B⊥AB1，再由A1B⊥AC1⇒A1B⊥平面AB1C1⇒平面AB1C1⊥平面ABB1A1．
【解析】
（Ⅰ）设AB1∩A1B=O，连接OD．
由于点O是AB1的中点，又D为AC的中点，所以OD∥B1C（5分）
而B1C⊄平面A1BD，OD⊂平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD（7分）
（Ⅱ）因为AB=BB1，所以是ABB1A1正方形，则A1B⊥AB1，
又A1B⊥AC1，且AC1，AB1⊂平面AB1C1，AC1∩AB1=A，所以A1B⊥平面AB1C1（12分）
而A1B⊂平面ABB1A1，所以平面AB1C1⊥平面ABB1A1（14分）