Question

已知f（x）=x³+bx²+cx-b（b＜0）在[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）若f（x）的图象上在两点A（m，f（m））、B（n，f（n））处的切线都与y轴垂直，且函数f（x）在区间[m，n]上存在零点，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）若函数f（x）在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性，在f（x）的图象上是否存在一点M，使得f（x）在点M的切线斜率为2b？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）由f（x）在[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性，知x=0是f（x）的一个极值点，从而可得结论；
（II）确定A，B为f（x）的极值点，利用函数f（x）在区间[m，n]上存在零点，根据零点存在定理，即可求实数b的取值范围；
（III）先确定-6≤b≤-3，再假设存在点M（x，y）使得f（x）在M处切线斜率为2b，则f'（x）=2b，由此可得结论．
【解析】
（Ⅰ）f'（x）=3x2+2bx+c，…（1分）
由f（x）在[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性，
知x=0是f（x）的一个极值点．…（2分）
∴f'（0）=0，得c=0．…（3分）
（Ⅱ）令f'（x）=0，得3x2+2bx=0，∴．…（4分）
∵f（x）的图象上在两点A（m，f（m））、B（n，f（n））处的切线都与y轴垂直，
∴A，B为f（x）的极值点．…（5分）
则．…（6分）
又
若f（x）在[0，]上存在零点．
∵f（0）=-b＞0，
则．…（7分）
∵b＜0，∴，∴．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ），知由f'（x）=0，
得．
∵f（x）在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性，f'（x）在[0，2]和[4，5]上有相反的符号，…（9分）
∴，
即-6≤b≤-3．…（10分）
假设存在点M（x，y）使得f（x）在M处切线斜率为2b，
则f'（x）=2b，即3x2+2bx-2b=0，…（11分）
△=4b2+24b=4（b2+6b）=4（b+3）2-3b，
∵-6≤b≤-3，∴-3b≤△≤0，…（12分）
当b=-6时，△=0，
由，
故存在这样点M，坐标为（2，-10）．…（14分）