Question

Rt△ABC的斜边在平面α内，直角顶点C是α外一点，AC、BC与α所成角分别为30°和45°．则平面ABC与α所成锐角为    ．

Answer

过点C做CD垂直平面a，CE垂直AB，连接AD，BD，CE，DE，说明平面ABC和平面a所成二面角为∠CED，根据AC、BC与α所成角分别为30°和45°求出AC，BC，结合直角三角形两直角边之积等于斜边与斜边上高，求出CE，然后求出平面ABC与α所成锐角．
【解析】
过点C做CD垂直平面α，CE垂直AB，连接AD，BD，CE，DE
设CD=h，如图所示：
∴平面ABC和平面α所成二面角为∠CED，
∵AC、BC与α所成角分别为30°和45°，
易得∠CED=60°，∠CAD=45°
则AC=2h，BC=，
Rt△ABC的斜边在平面α内，∴AB=
∵BC•AC=AB•CE得：
CE==，
故sin∠CED==．
故平面ABC与α所成锐角为∠CED=60°．
故答案为：60°．