Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，AC=AA₁=，BC=2．
（1）证明：AB⊥A₁C；
（2）求二面角A-A₁C-B的余弦值．

Answer

（1）先证明AB⊥平面ACC1A1，即可证明AB⊥A1C；
（2）连接A1C，A1B，取A1C的中点D，连接AD，BD可得∠ADB是二面角A-A1C-B的平面角，从而可求二面角A-A1C-B的余弦值．
（1）证明：由直棱柱的性质可得，AA1⊥平面ABC
∴AA1⊥AB
∵在△ABC中AB=1，AC=，BC=2，AB2+AC2=BC2
∴AB⊥AC又AC∩AA1=A
∴AB⊥平面ACC1A1，
又∵A1C⊂平面ACC1A1
∴AB⊥A1C
（2）【解析】
连接A1C，A1B
由已知可得
取A1C的中点D，连接AD，BD可得AD⊥A1C，BD⊥A1C
∴∠ADB是二面角A-A1C-B的平面角，
由（1）AB⊥平面ACC1A1可得AB⊥AD
在等腰，在等腰Rt，
又在Rt为所求二面角的余弦值