Question

已知⊙C：x²+y²+2x-4y+1=0．
（1）若⊙C的切线在x轴、y轴上截距相等，求切线的方程．
（2）从圆外一点P（x，y）向圆引切线PM，M为切点，O为原点，若|PM|=|PO|，求使|PM|最小的P点坐标．

Answer

将圆C的方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径，
（1）分两种情况：当切线过原点时设为y=kx，由圆心到切线的距离等于圆的半径列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值；当切线不过原点时，设为x+y=a，同理求出a的值，即可确定出切线方程；
（2）根据|PM|=|PO|，利用两点间的距离公式列出关系式，得到x与y的关系式，用y表示出x，代入|PM|中，利用二次函数的性质求出|PM|最小时y的值，进而确定出x的值，即可确定出此时P的坐标．
【解析】
⊙C：（x+1）2+（y-2）2=4，圆心C（-1，2），半径r=2，
（1）若切线过原点设为y=kx，则=2，
解得：k=0或，
若切线不过原点，设为x+y=a，则=2，
解得：a=1±2，
则切线方程为：y=0，y=x，x+y=1+2和x+y=1-2；
（2）∵|PM|=|PO|，即=，
∴2x-4y+1=0，
对于|PM|==，
∵P在⊙C外，
∴（x0 +1）2+（y-2）2＞4，
将x=2y-代入得5y2-2y+＞0，
∴当y=时，5y2-2y+最小，此时|PM|最小，x=2y-=-，
∴|PM|min=，此时P（-，）．