Question

已知函数f（x）=x³+x（x∈R）．
（1）指出f（x）的奇偶性及单调性，并说明理由；
（2）若a、b、c∈R，且a+b＞0，b+c＞0，c+a＞0，试判断f（a）+f（b）+f（c）的符号．

Answer

（1）根据题意求出f（-x），并判断f（-x）与f（x）的关系，由函数奇偶性的定义得到函数的奇偶性，求出函数的导数，并判断符号，进而得到函数的单调性；
（2）由a+b＞0，得a＞-b，再由（1）中函数的增函数，得f（a）＞f（-b），又由（1）中函数为奇函数可得：f（-b）=-f（b），即f（a）＞-f（b），于是f（a）+f（b）＞0，同时求出f（b）+f（c）＞0，f（c）+f（a）＞0．利用不等式的性质即可得到答案．
【解析】
（1）∵函数f（x）=x3+x的定义域为R，关于原点对称，
又∵f（-x）=（-x）3+（-x）=-（x3+x）=-f（x）
∴f（x）为奇函数，
∵f′（x）=3x2+1＞0，∴f（x）在R上是增函数，
（2）由（1）得，
由a+b＞0得a＞-b，则f（a）＞f（-b）=-f（b），即f（a）+f（b）＞0．
同理，f（b）+f（c）＞0，f（c）+f（a）＞0．
故f（a）+f（b）+f（b）+f（c）+f（c）+f（a）＞0，
即有f（a）+f（b）+f（c）＞0．