Question

已知数列{a_n}满足，，
（Ⅰ）计算出a₂、a₃、a₄；
（Ⅱ）猜想数列{a_n}通项公式a_n，并用数学归纳法进行证明．

Answer

（I）利用数列递推式，代入计算，即可求a2、a3、a4；
（Ⅱ）由（I）知分子是3，分母是以首项为5公差为6的等差数列，从而猜想数列{an}通项公式，利用数学归纳法即可证明．
【解析】
（Ⅰ）∵，，
∴，，-------------------------（3分）；
（Ⅱ）由（I）知分子是3，分母是以首项为5公差为6的等差数列
∴猜想数列{an}通项公式：---------------------（5分）
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，由题意可知，命题成立．------（6分）
②假设当n=k（k≥1，k∈N）时命题成立，即，----（7分）
那么，当n=k+1时，
也就说，当n=k+1时命题也成立----------------------------------------------（12分）
综上所述，数列{an}的通项公式为---------------------------（13分）