Question

已知函数f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab．当x∈（-3，2）时，f（x）＞0，当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数在区间[1，+∞）上单调，求θ的取值范围；
（3）不等式（t-2）f（x）≥t²+（m-2）t-2m+2对x∈[-1，1]及t∈[-1，1]时恒成立，求实数m的取范围．

Answer

（1）由题意可得 a＜0，且-3和2是方程f（x）=ax2+（b-8）x-a-ab=0 的2个实数根，利用一元二次方程根与系数的关系解得a和b的值，即可求得f（x）的解析式
（2）由于函数=-x2+2tanθx+5 的对称轴为 x=tanθ，且在区间[1，+∞）上单调，可得tanθ≤1，由此求得θ 的范围．
（3）由题意可得可得 （6-3t）x2+（6-3t）x+（20-m）t-38+2m≥0 对x∈[-1，1]及t∈[-1，1]时恒成立．故函数h（x）=（6-3t）x2+（6-3t）x+（20-m）t-38+2m 在[-1，1]上的最小值为h（-）=（-m）t+2m-≥0对t∈[-1，1]恒成立．故有 （-m）×1+2m-≥0 且（-m）（-1）+2m-≥0，由此求得m 的范围．
【解析】
（1）由题意可得 a＜0 且-3和2是方程f（x）=ax2+（b-8）x-a-ab=0 的2个实数根，
∴-3+2=，且-3×2=，解得 a=-3，b=5，∴f（x）=-3x2-3x+18．
（2）若函数=-x2+2tanθx+5 的对称轴为 x=tanθ，且在区间[1，+∞）上单调，
故有 tanθ≤1，∴θ∈（kπ-，kπ+），k∈z．
（3）不等式（t-2）f（x）≥t2+（m-2）t-2m+2对x∈[-1，1]及t∈[-1，1]时恒成立，
可得 （6-3t）x2+（6-3t）x+（20-m）t-38+2m≥0 对x∈[-1，1]及t∈[-1，1]时恒成立．
把x当作自变量，可得此一元二次不等式对应的二次函数的对称轴为x=-，
故函数h（x）=（6-3t）x2+（6-3t）x+（20-m）t-38+2m 在[-1，1]上的最小值为h（-）=（-m）t+2m-≥0对t∈[-1，1]恒成立．
故有 （-m）×1+2m-≥0 且 （-m）（-1）+2m-≥0，求得 m≥．