Question

设函数f（x）=x³+2bx²+cx-2的图象与x轴相交于一点P（t，0），且在点P（t，0）处的切线方程是y=5x-10．
（I）求t的值及函数f（x）的解析式；
（II）设函数g（x）=f（x）+mx
（1）若g（x）的极值存在，求实数m的取值范围．
（2）假设g（x）有两个极值点x₁，x₂（且x₁≥0，x₂≥0），求x+x关于m的表达式φ（m），并判断φ（m）是否有最大值，若有最大值求出它；若没有最大值，说明理由．

Answer

（I）利用条件f（x）与x轴相交于一点P（t，0），且在点P（t，0）处的切线方程是y=5x-10，求出对应的b，c．
（II）求函数的导数，利用函数的极值和导数的关系，确定m的取值范围．
【解析】
（I）设切点P（t.0）代入直线方程y=5x-10，得P （2，0），
且有f（2）=0，即4b+c+3=0…①…（2分）
又f'（x）=3x2+4bx+c，由已f'（2）=12+8b+c=5得8b+c+7=0  …②
联立①②，解得b=-1，c=1．
所以函数的解析式f（x）=x3-2x2+x-2    …（4分）
（II）（1）因为，
，
当函数有极值时，则△≥0，方有实数解，
由△=4（1-m）≥0，得m≤1．        …（8分）
①当m=1时，g'（x）=0有实数x=，在x=的左右两侧均g'（x）＞0，故函数g（x）无极值
②当m＜1时，g'（x）=0有两个实数根x1，x2，（x1＜x2）．
g'（x），g（x）情况如下表：

x （-∞，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞）
g'（x） + - +
g（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

所以在m∈（-∞，1）时，函数g（x）有极值；…（10分）
（2）由（1）得m∈（-∞，1）且x1+x2=，．
…（12分）
∵．≥0，m∈（-∞，1）
∴，-3≤m＜1，故φ（m）有最大值为φ（-3）=…（14分）