Question

已知函数f（x）=|x|-1，关于x的方程f²（x）-|f（x）|+k=0，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根；
③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根．
其中真命题的序号为    ．

Answer

利用换元法设t=|x|-1，将方程转化为关于t的一元二次方程t2-|t|+k=0去求解．
【解析】
设t=|x|-1，则t≥-1，当t=-1时，x=0当t＞-1时，x有两解．
则原方程等价为t2-|t|+k=0，即k=-t2+|t|=-（|t|-）2+．
由图象可知，（1）当k＜0时，t＞1，此时方程恰有2个不同的实根；
（2）当k=0时，t=1或t=0或t=-1，
当t=1时，x有两个不同的解，
当t=0时，x有两个不同的解，
当t=-1时，x只有一个解，所以此时共有5个不同的解．
（3）当0＜k＜时，-1＜t＜-或-＜t＜0或0＜t＜或＜t＜1，此时对应着8个解．
（4）当k=时，t=-或t=．此时每个t对应着两个x，所以此时共有4个解．
综上正确的是①③④．
故答案为：①③④．