Question

设函数f（x）=e^x（sinx-cosx），若0≤x≤2012π，则函数f（x）的各极大值之和为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

先求出其导函数，利用导函数求出其单调区间，进而找到其极大值f（2kπ+π）=e2kπ+π，再利用数列的求和方法来求函数f（x）的各极大值之和即可．
【解析】
∵函数f（x）=ex（sinx-cosx），
∴f′（x）=（ex）′（sinx-cosx）+ex（sinx-cosx）′=2exsinx，
∵x∈（2kπ，2kπ+π）时，f′（x）＞0，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时，f′（x）＜0，
∴x∈（2kπ，2kπ+π）时原函数递增，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时，函数f（x）=ex（sinx-cosx）递减，
故当x=2kπ+π时，f（x）取极大值，
其极大值为f（2kπ+π）=e2kπ+π[sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]
=e2kπ+π×（0-（-1））
=e2kπ+π，
又0≤x≤2012π，
∴函数f（x）的各极大值之和S=eπ+e3π+e5π+…+e2011π
==．
故选B．