Question

在等差数列{a_n}中，a₁=1，前n项和S_n满足条件=4，n=1，2，…
（1）求数列{a_n}的通项公式和S_n；
（2）记b_n=，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）将n=1代入已知递推式，易得a2，从而求出d，故an可求；
（2）求出数列{bn}的通项公式，利用错位相减法即可求出数列{bn}的前n项和Tn．
【解析】
（1）设等差数列{an}的公差为d，由=4得：，
所以a2=3a1=3且d=a2-a1=2，所以an=a1+（n-1）d=2n-1，
∴=n2；
（2）由bn=，得bn=（2n-1）•2n-1．
∴Tn=1+3•21+5•22+…+（2n-1）•2n-1       ①
2Tn=2+3•22+5•23+…+（2n-3）•2n-1+（2n-1）•2n    ②
①-②得：-Tn=1+2•21+2•22+…+2•2n-1-（2n-1）•2n=2（1+2+22+…+2n-1）-（2n-1）•2n-1
=-（2n-1）•2n-1
∴-Tn=2n•（3-2n）-3．
∴Tn=（2n-3）•2n+3．