Question

已知函数f（x）=lg（2+x）+lg（2-x）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）记函数g（x）=10^f（x）+3x，求函数g（x）的值域；
（3）若不等式f（x）＞m有解，求实数m的取值范围．

Answer

（1）根据函数解析式求定义域，使对数式，指数式，分式，幂式等有意义，如x须满足．
（2）复合函数单调性与最值的综合应用，外层函数是增函数而内层函数g（x）=-x2+3x+4（-2＜x＜2），（3）分离参数根据恒成立问题利用函数的性质求实数m的取值范围，不等式f（x）＞m有解即m＜f（x）max，求可得函数f（x）的最大值．
【解析】
（1）x须满足，∴-2＜x＜2，
∴所求函数的定义域为（-2，2）
（2）由于-2＜x＜2，∴f（x）=lg（4-x2），而g（x）=10f（x）+3x，g（x）=-x2+3x+4（-2＜x＜2），
∴函数g（x）=-x2+3x+4（-2＜x＜2），
其图象的对称轴为，∴，
所有所求函数的值域是
（3）∵不等式f（x）＞m有解，∴m＜f（x）max
令t=4-x2，由于-2＜x＜2，∴0＜t≤4
∴f（x）的最大值为lg4．
∴实数m的取值范围为m＜lg4