Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n，满足
（1）求出a₁的值，并用n与a_n表示出a_n+1
（2）求证存在一个等比数列{b_n}，使得{a_nb_n}是一个公差为3的等差数列
（3）试直接写出的最小值．

Answer

（1）把n=1代入条件可求得a1，由，可得，两式相减整理后可得an+1
（2）由，得，于是=3，令，即可满足题意；
（3）由（2）可求得an，从而得到，利用基本不等式可求得其最小值，注意考虑n的取值范围；
（1）【解析】
由条件，n=1时，S1=2-a1-1，解得；
∵①，∴②，
②-①，得-，即，
所以；
（2）证明：∵，∴，
则=3，
令，∵对一切n∈N*恒成立，
所以存在等比数列{bn}，使得{anbn}是一个公差为3的等差数列；
（3）【解析】
（n∈N*）的最小值为，
由（2）知，所以{2nan}为公差为1的等差数列，2nan=1+（n-1）•1=n，
所以，又，
所以=3×2n+，
当即2n=10时取等号，
由于n∈N*，且n=3时=，n=4时，=，
所以所求最小值为．