Question

定义在R上的函数f（x）满足f（2x）=2f²（x）-1，现给定下列几个命题：
（1）f（x）≥-1；
（2）f（x）不可能是奇函数；
（3）f（x）不可能是常数函数；
（4）若f（x）=a（a＞1），则不存在常数M，使得f（x）≤M恒成立；
在上述命题中错误命题的个数为（ ）个．
A．4
B．3
C．2
D．1

Answer

本题是一个多选题，对抽象表达式f（2x）=2f2（x）-1表达的函数性质进行推断，应该注意函数f（x）=cosx符合此表达式，易判断①②③的真假，至于选项④，显然不是函数f（x）=cosx的性质，应为真命题
【解析】
（1）∵f（x）=f（2×）=2f2（）-1≥-1，故（1）正确
（2）∵f（0）=2f2（0）-1，解得f（0）=1或-，即f（0）≠0，f（x）不可能为奇函数，故（2）正确
（3）若f（x）=1，或f（x）=-，则函数f（x）满足f（2x）=2f2（x）-1，故（3）错误
（4）若f（x）=a（a＞1），则此函数没有上界，即不存在常数M，使得f（x）≤M成立，故④正确
故选D