Question

已知函数f（x）=e^x-mx
（1）当m=1时，求函数f（x）的最小值；
（2）若函数g（x）=f（x）-lnx+x²存在两个零点，求m的取值范围；
（3）证明：．

Answer

（1）当m=1时，f′（x）=ex-1，当x＜0时，f′（x）＜0，当x＞0时，f′（x）＞0，由此能求出当m=1时，函数f（x）的最小值．
（2）由g（x）=f（x）-lnx+x2=0，得m=，令h（x）=，由此能求出函数g（x）=f（x）-lnx+x2存在两个零点时m的取值范围．
（3）由（1）可得ex≥x+1，令x=1=，则x=，从而e，分别令k=1，2，3，..，n．利用等比数列求和公式和放缩法，可证明结论．
【解析】
（1）当m=1时，f（x）=ex-x，
∴f′（x）=ex-1，
当x＜0时，f′（x）＜0，
当x＞0时，f′（x）＞0，
∴f（x）min=f（x）=1．
（2）由g（x）=f（x）-lnx+x2=0，
得m=，
令h（x）=，
则h′（x）=，
观察得x=1时，h′（x）=0．
当x＞1时，h′（x）＞0，
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，
∴h（x）min=h（1）=e+1，
∴函数g（x）=f（x）-lnx+x2存在两个零点时m的取值范围是（e+1，+∞）．
（3）由（1）知ex-x≥1，∴ex≥x+1，令x=1=，则x=，
∴e，∴e
∴≤e1-n+e2-n+…+1=＜
所以．        （14分）