Question

已知函数f（x）=2mx²-2（4-m）x+1，g（x）=mx，设集合M={m|∀x∈R，f（x）与g（x）的值中至少有一个为正数}．
（Ⅰ）试判断实数0是否在集合M中，并给出理由；
（Ⅱ）求集合M．

Answer

（Ⅰ）当m≤0时，显然不成立；当m＞0时，因为f（0）=1＞0，所以仅对对称轴进行讨论即可；
（Ⅱ）当m＞0时，g（x）=mx在x∈（0，+∞）时恒为正；当m＜0时，g（x）=mx在x∈（-∞，0）时恒为正．分别得到m的关系式，解不等式即可得到m的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）∵m=0时，f（x）=-8x+1，g（x）=0，f（x）的值不恒为0．
∴0∉M．
（Ⅱ）①当m＞0时，g（x）=mx在x∈（0，+∞）时恒为正，
∴f（x）=2mx2-2（4-m）x+1＞0对x≤0恒成立．
∴或△＜0，
解得 0＜m＜8．
②当m＜0时，g（x）=mx在x∈（-∞，0）时恒为正，
∴f（x）=2mx2-2（4-m）x+1＞0对x≥0恒成立．
∵f（x）的图象开口向下且过点（0，1），
∴m∈ϕ．
综上，m的取值范围是（0，8）．