Question

如图，在直角坐标系xOy中，设椭圆的左右两个焦点分别为F₁、F₂．过右焦点F₂且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的一个顶点为B（0，-b），直线BF₂交椭圆C于另一点N，求△F₁BN的面积．

Answer

（1）由已知易得c值与线段MF2的长度，在直角三角形MF1F2中勾股定理求出a即可写出椭圆C的标准方程．
（2）此题可转化为求以线段为底边的两个三角形的和问题，一个三角形的高为b，另一个为|yn|．故只须求yn即可．
【解析】
（1）由椭圆定义可知|MF1|+|MF2|=2a．由题意|MF2|=1，
∴|MF1|=2a-1．又由Rt△MF1F2可知，a＞0，
∴a=2，又a2-b2=2，得b2=2．∴椭圆C的方程为．
（2）直线BF2的方程为．
由
得点N的纵坐标为．又，
∴．