Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，若对于任意的正整数n都有S_n=2a_n-3n．
（1）设b_n=a_n+3，求证：数列{b_n}是等比数列，并求出{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和．

Answer

（1）通过递推关系式求出an与an+1的关系，推出{an+3}即数列{bn}是等比数列，求出数列{bn}的通项公式即可求出{an}的通项公式；
（2）写出数列{nan}的通项公式，然后写出前n项和的表达式通过错位相减法求解即可．
【解析】
（1）∵Sn=2an-3n，对于任意的正整数都成立，
∴Sn+1=2an+1-3n-3，
两式相减，得a n+1=2an+1-2an-3，即an+1=2an+3，
∴an+1+3=2（an+3），
所以数列{bn}是以2为公比的等比数列，
由已知条件得：S1=2a1-3，a1=3．
∴首项b1=a1+3=6，公比q=2，
∴an=6•2n-1-3=3•2n-3．
（2）∵nan=3×n•2n-3n
∴Sn=3（1•2+2•22+3•23+…+n•2n）-3（1+2+3+…+n），
2Sn=3（1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1）-6（1+2+3+…+n），
∴-Sn=3（2+22+23+…+2n-n•2n+1）+3（1+2+3+…+n）
=
∴Sn=