Question

已知双曲线，两焦点为F₁，F₂，过F₂作x轴的垂线交双曲线于A，B两点，且△ABF₁内切圆的半径为a，则此双曲线的离心率为    ．

Answer

欲求双曲线的离心率，只须建立a，c的关系式即可，由双曲线的定义得：|AF1|-|AF2|=2a，|BF1|-|BF2|=2a，从而△ABF1周长为：2|AB|+4a，利用△ABF1内切圆的半径为a，得到△ABF1面积为：S=（|AF1|+|BF1|+|AB|）×a，又S=|AB|×2c，由面积相等即可建立a，c的关系，即可求得此双曲线的离心率．
【解析】
由双曲线的定义得：
|AF1|-|AF2|=2a，|BF1|-|BF2|=2a两式相加得：|AF1|+|BF1|-|AB|=4a，
又在双曲线中，|AB|=2×，
∴△ABF1周长为：|AF1|+|BF1|+|AB|=2|AB|+4a=4×+4a，
∵△ABF1内切圆的半径为a，
∴△ABF1面积为：S=（|AF1|+|BF1|+|AB|）×a
又S=|AB|×2c，
∴（4×+4a）×a=|AB|×2c
即c2-a2=ac
解得：e==，则此双曲线的离心率为 ．
故答案为：．