存在f(x)和g(x)的隔离直线,那么该直线过这个公共点,设隔离直线的斜率为k.则隔离直线,构造函数,求出函数函数的导数,根据导数求出函数的最值
【解析】
令F(x)=h(x)-φ(x)=x2-2elnx(x>0),再令F′(X)=2x-=0,解得 x=.
从而函数h(x)和φ(x)的图象在x=处有公共点.
因此存在h(x)和φ(x)的隔离直线,那么该直线过这个公共点,设隔离直线的斜率为k,则
隔离直线方程为y-e=k(x-),即y=kx-k +e.
由h(x)≥kx-k +e可得 x2-kx+k -e≥0当x∈R恒成立,
则△=k2-4k+4e=≤0,只有k=2 时,等号成立,此时直线方程为:y=2 x-e.
同理证明,由φ(x )≤kx-k +e,可得只有k=2 时,等号成立,此时直线方程为:y=2 x-e.
综上可得,函数f(x)和g(x)存在唯一的隔离直线y=2 x-e.