Question

已知函数f（x）=lnx，，记h（x）=f（x）-g（x）．
（1）若a=0，且h（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围；
（2）若b=2，且h（x）=f（x）-g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（3）若a≠0，设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C₁，C₂于点M、N，请判断C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线能否平行，并说明你的理由．

Answer

（1）利用导数求函数h（x）在（0，+∞）上的最大值即可．
（2）利用导数求函数的单调递减区间．
（3）求导数，研究两条切线的斜率关系，从而确定是否平行．
【解析】
（1）不等式，函数，x∈（0，+∞），由，得x=e，
所以p（x）先增后减，
最大值为，
（2），
则．
当a=0时，时，h′（x）＜0，函数为减函数；
当a＞0时，y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线，ax2+2x-1＞0，总有x＞0；
当a＜0时，y=ax2+2x-1为开口向下的抛物线，而ax2+2x-1＞0，总有x＞0；
则△=4+4a＞0，且方程ax2+2x-1=0至少有一正根．此时，-1＜a＜0，
综上：a∈（-1，+∞）
（3）不能平行．
设点P、Q的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），0＜x1＜x2．
则点M、N的横坐标为
假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行得：，点P、Q的坐标代入函数表达式
两式相减得：
设，则．令．
得用导数得r（t）在[1，+∞）上单调递增．故r（t）＞r（1）=0．
所以不成立，即两切线不可能平行．