Question

已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点．过点F的直线l交椭圆于A、B两点．
（1）若直线l的倾斜角，求|AB|；
（2）求弦AB的中点M的轨迹方程；
（3）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，
线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．

Answer

（1）直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式，即可求得结论；
（2）利用点差法，即可求弦AB的中点M的轨迹方程；
（3）设直线方程代入椭圆方程，确定AB的垂直平分线NG的方程，可得点G横坐标的取值范围．
【解析】
（1）直线l的方程为y=x+1，与椭圆方程联立，可得3x2+4x=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
∴|AB|=；
（2）设弦AB的中点M的坐标为（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2）
依题意有，化简可得x2+x+2y2=0…（7分）
（3）设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），
代入，整理得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0．
∵直线AB过椭圆的左焦点F，∴方程有两个不等实根．
记A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x，y），则，
∴AB的垂直平分线NG的方程为．
令y=0，得
∵k≠0，
∴
∴点G横坐标的取值范围为（-，0）．