Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1-a_n-2n-2=0（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，若对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式恒成立，求实数t的取值范围．

Answer

（1）由题意得an-an-1=2n（n≥2），再给n具体值列出方程，利用叠加法和等差数列的前n项和公式，求出an；
（2）由（1）表示出bn，再通过裂项相消法化简bn，构造函数y=2x++3判断出单调性，再求出的最小值，即求出bn的最大值，由恒成立列出不等式：t2-2mt＞0，再一次构造函数g（m）=t2-2mt，并进行分类列出恒成立的条件，求出t的范围．
【解析】
（1）由题意得an+1-an-2n-2=0，则an+1-an=2n+2，
∴an-an-1=2n（n≥2），
∴a2-a1=2×2，a3-a2=2×3，…，an-an-1=2n，
通过叠加得an=2（2+3+…+n）+a1
=2×+2=n（n+1）（n≥2）．
又∵a1=2符合此通项公式，
∴an=n（n+1），
（2）由（1）得，
=+…+
=（）+（）+（）+…+（）
===，
设y=2x++3，则函数在（，+∞）上递增，
∴当n=1时，取到最小值为6，
∴bn的最大值为，
故要使不等式对一切m∈[-1，1]成立，
须使，即t2-2mt＞0对一切m∈[-1，1]恒成立．
设g（m）=t2-2mt，
当t=0时，g（m）＞0不成立，
当t≠0时，g（m）是一次函数，
则，即，解得t＞2或t＜-2，
综上得，t的取值范围是（-∞，-2）∪（2，+∞）．