Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=x²-ax（a∈R）．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））的切线方程；
（2）a=3时，求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调区间；
（3）设（n∈N^*），求证：．

Answer

（1）先求出函数f（x）=lnx的导函数，利用导函数值等于0求出对应的，并求出对应点的坐标，即可得到切线方程．
（2）先求出其导函数，再求出导函数大于等于0的区间即可得到其单调递增区间，注意是在定义域内找增减区间，要避免出错．
（3）由（2）知a=3时，F（x）=lnx+x2-3x在（1，+∞）上是增函数．从而得出．即有．再分别令n=1，2，3，..，n得到n个不等关系，最后利用不等式的性质化简即可．
【解析】
（1）f（x）=lnx，，f'（1）=1，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））的切线方程为y=1（x-1），即x-y-1=0．…（4分）
（2）F（x）=lnx+x2-3x，=…（6分）
由或x＞1，F'（x）＜0⇒，…（8分）
所以函数F（x）=f（x）+g（x）的单调增区间为；减区间为…（9分）
（3）由（2）知a=3时，F（x）=lnx+x2-3x在（1，+∞）上是增函数．
所以．
所以．
所以．
即．       …（12分）
所以，，，
…．
所以=＜2n+ln（n+1）．
故所证不等式成立．    …（14分）