Question

已知函数f（x）=x³+x-16，
（1）求曲线y=f（x）在点（2，-6）处的切线的方程．
（2）如果曲线y=f（x）的某一切线与直线y=-x+3垂直，求切点坐标与切线的方程．

Answer

（1）确定点（2，-6）在曲线上，求导函数，可得切线斜率，从而可得切线方程；
（2）利用曲线y=f（x）的某一切线与直线y=-x+3垂直，可得斜率的积为-1，从而可求切点坐标与切线的方程．
【解析】
（1）∵f（2）=23+2-16=-6，∴点（2，-6）在曲线上．…（2分）
∵f′（x）=（x3+x-16）′=3x2+1，
∴在点（2，-6）处的切线的斜率为k=f′（2）=3×22+1=13．…（4分）
∴切线的方程为y=13（x-2）+（-6），即y=13x-32．…（5分）
（2）∵切线与直线y=-+3垂直，
∴斜率k=4，∴设切点为（x，y），…（7分）
则f′（x）=3x+1=4，
∴x=±1，
x=1时，y=-14；x=-1，y=-18，
即切点坐标为（1，-14）或（-1，-18）．…（9分）
切线方程为y=4（x-1）-14或y=4（x+1）-18．
即y=4x-18或y=4x-14．…（10分）