Question

如图，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，F₁、F₂分别为椭圆C的左、右焦点，A（0，b），且•=-2过左焦点F₁作直线l交椭圆于P₁、P₂两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l的倾斜角a∈[，]，直线OP₁，OP₂与直线x=-分别交于点S、T，求|ST|的取值范围．

Answer

（1）利用向量数量积公式，结合离心率，即可求得椭圆方程；
（2）确定直线OP1、OP2的方程，求出S，T的坐标，可得|ST|，结合m的范围，即可得到结论．
【解析】
（1）设F1（-c，0），F2（c，0），则
由•=-2得b2-c2=-2
∵
∴a2=4，b2=1，c2=3
∴椭圆方程为；
（2）设直线l的方程为
∵倾斜角α∈[，]，
∴m∈[]
则P1（x1，y1），P2（x2，y2）的坐标轴满足方程组
∴（m2+4）y2-y-1=0
∴，
∴x1x2=
由P1（x1，y1），P2（x2，y2），得直线OP1、OP2的方程为、
∴点S、T的坐标为S（），T（）
∴|ST|=||=
令
∵m∈[]
∴
∴|ST|=．