Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，
（I）若，求φ的值；
（Ⅱ）在（I）的条件下，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f（x）的解析式；并求最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数．

Answer

（I）利用特殊角的三角函数值化简，根据直接求出φ的值；
（Ⅱ）解法一：在（I）的条件下，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求出周期，求出ω，得到函数f（x）的解析式；函数f（x）的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数．推出，可求最小正实数m．
解法二：在（I）的条件下，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求出周期，求出ω，得到函数f（x）的解析式；利用g（x）是偶函数当且仅当g（-x）=g（x）对x∈R恒成立，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数．化简，然后再求最小正实数m．
【解析】
（I）由得
即又，∴
（Ⅱ）解法一：由（I）得，依题意，又，故ω=3，∴
函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g（x）是偶函数当且仅当即从而，最小正实数
解法二：由（I）得，，依题意，又，故ω=3，∴
函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数为，g（x）是偶函数当且仅当g（-x）=g（x）对x∈R恒成立
亦即对x∈R恒成立．∴=
即对x∈R恒成立．∴
故∴从而，最小正实数