Question

（普通班做）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G是CC₁，BC，CD的中点．
求证：①AB₁∥平面CDD₁C₁；
②平面EFG∥平面BC₁D．

Answer

①在正方体ABCD-A1B1C1D1中，先证明四边形ADC1B1为平行四边形，可得AB1∥DC1．再利用直线和平面平行的判定定理证得 AB1∥平面CDD1C1．
②根据FG是△BCD的中位线，故有FG∥BD，从而证明FG∥平面BC1D，同理可证EF∥平面BC1D．再根据平面和平面平行的判定定理证得平面EFG∥平面BC1D．
【解析】
①在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由于AD和B1C1平行且相等，
故四边形ADC1B1为平行四边形，故AB1∥DC1．
而DC1在平面CDD1C1中，AB1不在平面CDD1C1中，故有 AB1∥平面CDD1C1．
②由于E，F，G是CC1，BC，CD的中点，故FG是△BCD的中位线，故有FG∥BD．
而BD在平面BC1D内，FG不在平面BC1D内，故有FG∥平面BC1D，
同理可证EF∥平面BC1D．
由于EF和FG是平面EFG内的2条相交直线，故有平面EFG∥平面BC1D．