Question

已知函数．
（1）求证：不论a为何实数f（x）总是为增函数；
（2）确定a的值，使f（x）为奇函数；
（3）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．

Answer

（1）先设x1＜x2，欲证明不论a为何实数f（x）总是为增函数，只须证明：f（x1）-f（x2）＜0，即可；
（2）根据f（x）为奇函数，利用定义得出f（-x）=-f（x），从而求得a值即可；
（3）由（2）知（4），利用指数函数2x的性质结合不等式的性质即可求得f（x）的值域．
【解析】
（1）∵f（x）的定义域为R，设x1＜x2，
则=，
∵x1＜x2，∴，∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），所以不论a为何实数f（x）总为增函数．
（2）∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），即，
解得：．∴．
（3）由（2）知（4），∵2x+1＞1（5），∴（6），∴，∴
所以f（x）的值域为．