Question

如图，在棱长为a的正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD中，
（1）若以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD₁所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，试写出B，B₁两点的坐标．
（2）证明B₁D⊥面A₁BC₁；
（3）求线AC到面A₁BC₁的距离．

Answer

（1）根据空间直角坐标系，写成点的坐标．（2）利用线面垂直的判定定理去证明线面垂直．（3）利用等积法求距离．
【解析】
（1）B（a，a，0）B1（a，a，a）
（2）易证A1C1⊥面DBB1D1，∴A1C1⊥B1D，同理可证A1B⊥B1D，
又A1C1∩A1B=A1，∴B1D⊥面A1BC1．
（3）∵AC∥A1C1，∴AC∥面A1BC1
∴线AC到面A1BC1的距离即为点A到面A1BC1的距离，也就是点B1到面A1BC1的距离，记为h，
在三棱锥B1-BA1C1中有，
即，
∴．